Mes recherches sur la conjecture de Syracuse, dite aussi conjecture de Collatz, ou conjecture "3n+1"

cf Avoid the Collatz Conjecture at All Costs! (video Youtube)
magnifiques fractales : The Collatz Conjecture and Fractals (video Youtube)

cf Syracuse (Répertoire sur D)(lien privé)

Notons la fonction de Syracuse, c'est à dire que si est pair, et sinon ,

Et notons, pour toute fonction , l'itéré de , fois.

Si on trouve une fonction telle que pour tout (éventuellement supérieur à une valeur donnée fixe), il existe un entier tel que alors c'est que quel que soit , après un nombre d'itérations syracusaines, le k-ième itéré aura finalement une image inférieure par et que donc comme il ne peut y avoir une suite infinie d'ordinaux décroissante, la suite des itérée convergera vers un nombre égal au minimum de

Et si on prenait complexité ?
on pourrait avoir comme mesure de complexité quelque chose comme le nombre minimal d'étapes qu'il faut pour obtenir en partant de 1, avec les opérateurs x2, x3 et -1 cf complexite

cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_s%C3%A9naire

En base 6, tous les nombres pairs se terminent par 2,4,0 et les impairs par 1,3,5
Les multiples de 3 se terminent par 3 ou 0 et réciproquement.

remarque :

Les opérateurs et sont assez simples :

Division par 2 :

NB: En base 6, multiplier par 3 et diviser par 2, c'est presque la même chose, de même qu'en base 10, multiplier par 5 et diviser par 2 c'est presque pareil.

La base √2 se comporte de manière très similaire à la base 2, car pour convertir un nombre binaire en base √2, il suffit de placer un chiffre zéro entre chaque chiffre binaire ; par exemple, = devient et = devient . Cela signifie que chaque nombre entier peut être exprimé dans la base √2 sans qu'il soit nécessaire d'ajouter un point décimal.

La base peut également être utilisée pour montrer la relation entre le côté d'un carré et sa diagonale, car un carré dont le côté mesure aura une diagonale de et un carré dont le côté mesure aura une diagonale de .

voir aussi factorisation par insertion de bits

Pour écrire x en base √2 il suffit d'écrire (x\0) où b\d représente le mélange par insertion des bits de b et d (...b1d1b0d0)
a\b avec gnuplot :
ins(a,b) = (a==0&&b==0)?0:(b&1)+2*(a&1)+4*ins(a/2,b/2)
a\a = g(a\0) = 3(a@a) = 3(0\a) -> dédoublement des bits
posons F(n) = floor(n*3/2), on a: F(ins(a,0))-> dédoublement des bits

a\b = 0\b + a\0

#TBC

Soit la fonction "moitié ou décrémente" définie par

et la fonction "moitié ou incrémente" définie par

Soit alors la somme de et :

De même on crée la fonction

Ce qui est intéressant c'est que, pour tout n

et

quid de ? de ?
#TBC

En effet si on écrit n en base 2, si le bit de poids faible est 1, elle le remplace par 0 et si c'est 0, elle décale n vers la droite de 1 (division par 2).
donc

Notons que si l'on pose = le nombre d'étapes qu'il faut pour réduire à "1" en lui appliquant récursivement, c'est à dire
c(n) = (n<=1)?0:1+c(md(n))

Si alors est le nombre bits à 1 dans l'écriture binaire de (soit en langage gnuplot:
nbb1(n) = (n<=0)?0: 1+nbb1(n & (n-1)) alors pour n>1 :

Alors est le "temps de vol" de en lui appliquant la fonction , et

L'analogie avec Syracuse est évidente : si est le temps de vol "Syracusien" alors on a aussi

On a :
donc
en particulier et donc il y a une boucle comme dans Syracuse.
soit ) la fonction "temps de vol" de : d(n) = (n<=1)?0:1+d(mi(n))
Cette fonction est compliquée...

#TBC

Si au lieu de 3n+1, on avait 3n-1 ? donc t(n)=(n%2==0)?n/2:3*n-1 ?
Notons que

Mais aussi

et

donc

et bien sûr

enfin

mais aussi

Enfin, j'ai découvert que

Mes recherches mathématiques